Vad är decimaler på pi
Pi
- Den denna plats artikeln handlar ifall den matematiska konstanten pi (π). För andra betydelser, titta Pi (olika betydelser).
Talet π (pi), även kallat Arkimedes konstant, existerar enstaka matematisk konstant vilket representerar förhållandet mellan enstaka cirkelsomkrets samt diameter.
Dess värde existerar knappt 3,1416 dock då talet existerar irrationellt är kapabel detta inte någonsin tecknas ut detaljerad tillsammans siffror.
14159Beteckningen π infördes troligen 1706, ifrån den inledande bokstaven inom detta grekiska termen till omkrets, περιφέρεια (periferi). π existerar ofta approximerad såsom 3,14[1] samt ett rationell approximation liksom existerar användbar till flera syften existerar 22/7, alternativt förbättrad 355/113.[2]
Historik
[redigera | redigera wikitext]De allra första kända uppskattningarna från π:s värde härstammar ifrån tiden cirka numeriskt värde årtusenden f.Kr.
då babylonierna använde värdet 25/8 = 3,125, samt egyptierna i enlighet med Rhindpapyrusen uppskattade π mot 256/81 ≈ 3,16.
Arkimedes överträffade cirka 250 f.Kr. dessa utfall då denne tillsammans med ett geometrisk konstruktion visade för att π måste ligga ner mellan 223/71 samt 22/7, motsvarande enstaka noggrannhet vid enstaka avdelning inom tredjeplats decimalen.
Pi har ett oändligt antal siffror och rekordet som man räknat ut är 100,000,000,000,000 eller 100 biljoner decimaler och gjordes den 21 mars 2022avgörande framsteg gjordes beneath nästföljande dryga 1500 tid från arabiska, kinesiska samt från indien matematiker, kulminerande cirka 1400 tillsammans Madhavas kalkyl från 11 korrekta decimaler, överträffad från Ghiyath al-Kashis 16 några kalenderår senare. Den tyske 1500-talsmatematikern Ludolph van Ceulen vigde större delen från sitt liv åt för att beräkna π tillsammans med Arkimedes metod; denne lyckades besluta talet tillsammans 35 decimaler samt detta besitter inom äldre nederländsk litteratur kallats Ludolphs tal.
Den matematiska analysen äger gett upphov mot serier samt iterationer på grund av π:s exakta värde såsom inom princip utför detta möjligt för att beräkna talet tillsammans önskad noggrannhet. modell existerar François Viètes formel ifrån 1593
Gottfried Leibniz formel
och John Wallis vara
Först för att nå 100 decimaler plats John Machin, liksom 1706 använde den för tillfället berömda Machins formel,
kombinerad tillsammans med Taylorserien till arctan.
Efter honom lyckades 1800-talets matematiker beräkna hundratals decimaler på grund av grabb.
Pi decimaler 100Sedan mitten från 1900-talet besitter datorer gjort detta möjligt för att beräkna tusentals, miljontals, miljardtals samt biljontals decimaler från π.
Den oändliga decimalutvecklingen äger inom sig fascinerat. Trots för att dem inledande 50 decimalerna räcker på grund av för att beräkna detta synliga universums omkrets tillsammans enstaka noggrannhet från ett atomkärnas storlek besitter detta blivit något från ett tävling inom för att beräkna π tillsammans med därför flera decimaler liksom möjligt – detta senaste rekordet ligger vid 31,4 tusen miljarder (31 415 926 535 897) stycken.[3]
Egenskaper
[redigera | redigera wikitext]I dagligt bruk avrundas π ofta mot 3,14[4], även ifall decimalerna fortsätter inom oändlighet utan för att uppvisa någon regelbundenhet.[5] Talet existerar irrationellt samt transcendent, detta önskar säga: detta förmå ej tecknas liksom en bråk mellan numeriskt värde heltal, samt detta är kapabel ej uttryckas algebraiskt.
detta innebär för att cirkelns geometriska attribut ej kunna uttryckas precist utan talet π samt för att cirkelns kvadratur existerar en bekymmer likt ej besitter någon svar. Utöver dessa attribut existerar π intressant eftersom detta dyker upp vid flera olika håll inom matematiken, somliga mot synes helt utan koppling mot detta geometriska ursprunget.
Talet äger studerats från framstående matematiker beneath samtliga tider, dock flera problem att diskutera existerar ännu ouppklarade.[5][6][7] detta existerar ej ovanligt för att talet approximeras tillsammans 22/7 (ungefär 3,143) inom beräkningar, vilket förmå härledas mot Arkimedes.
Beteckningen π, liksom härstammar ifrån detta grekiska termen περιφέρεια (periferi), valdes 1706 från William Jones på grund av för att beteckna talet samt standardiserades identisk århundrade genom Leonhard Euler.[5] detta råder delade meningar ovan om tecknet π bör tecknas inom linjär stil alternativt lutande (π alternativt π).
Pi-decimaler faktaSIS att föreslå eller råda något linjär stil vilket beskrives inom den svenska standarden SS 03 61 07 - Grafisk teknik – Sättningsregler – Matematik samt kemi.
Matematiska egenskaper
[redigera | redigera wikitext]Att π existerar irrationellt bevisades 1761 från Johann Heinrich Lambert. Dess transcendens bevisades 1882 från Ferdinand von Lindemann.[5]
Den maximalt gäckande ouppklarade frågan existerar om π existerar normalt, detta önskar yttra ifall samtliga siffror samt sifferkombinationer, inom varenda baser, förekommer tillsammans med identisk sannolikhet liksom angående talet vore helt "slumpmässigt".
Statistiska undersökningar från miljardtals siffror vilket beräknats tillsammans med datorer pekar åt detta hållet, dock matematiska bevis saknas. David H. Bailey samt Richard E. Crandall visade dock kalenderår 2000 för att π existerar normalt inom basen numeriskt värde angående ett trolig ett antagande eller en förklaring som föreslås för att förklara något ifrån kaosteorin existerar sann.[8]
Det existerar även okänt om π samt e existerar algebraiskt oberoende, dock detta existerar känt för att åtminstone detta en från πe samt π + e existerar transcendent.
Talet eπ, kallat Gelfonds konstant, existerar dock transcendent, liksom π samt e, medan eiπ existerar lika tillsammans heltalet −1.
Formler var π uppträder
[redigera | redigera wikitext]Geometri
[redigera | redigera wikitext]π förekommer inom flera geometriska formler till cirklar, sfärer samt andra runda objekt.
Dess värde är knappt 3,1416 men då talet är irrationellt kan det aldrig skrivas ut exakt med siffror| Geometrisk form eller gestalt | Formel | |
|---|---|---|
| Omkretsen från enstaka cirkel tillsammans med radienr samt diameternd | ||
| Arean från ett cirkel tillsammans radien r | ||
| Arean från enstaka ellips tillsammans med halvaxlarna a samt b | ||
| Volymen från ett sfär tillsammans med radien r samt diametern d | ||
| Arean från enstaka sfär tillsammans med radien r | ||
| Volymen från ett cylinder tillsammans höjden h samt radien r | ||
| Arean från enstaka cylinder tillsammans med höjden h samt radien r | ||
| Volymen från enstaka kon tillsammans höjden h samt radien r | ||
| Arean från ett kon tillsammans med höjden h samt radien r |
180° (grader) motsvarar π radianer.
Analys
[redigera | redigera wikitext]Talet π existerar intimt förbundet tillsammans med dem komplexa talen, vilket följer från dem trigonometriska funktionernas förekomst inom Eulers formel på grund av den komplexa exponentialfunktionen,
Ett specialfall existerar Eulers identitet,
som kallades "den märkligaste formeln inom matematiken" från Richard Feynman till för att den knyter samman fem från dem viktigaste talen: 0, 1, e liksom existerar basen på grund av den naturliga logaritmen, den imaginära enheten inom utifrån vilken dem komplexa talen definieras, samt π.
Vidare följer exempelvis från residysatsen på grund av kurvintegraler för att
Arean från ett kvarts enhetscirkel ges av:
Integraler
[redigera | redigera wikitext]Några integralformler existerar
Oändliga serier
[redigera | redigera wikitext]- Generellt existerar ett rationell multipel från till detta positiva heltalet n.
Andra oändliga serier existerar