Hur man räknar ut derivata

Tidigare lärde oss oss hur formeln till derivatans definition fungerar samt hur oss tillsammans med hjälp från den är kapabel beräkna derivatan inom ett viss punkt på grund av ett given funktion.

Sedan tittar vi på om dessa extremvärden ligger inom det definierade området \(-1\leq x\leq3\)

Dock förmå detta existera ofint för att behöva komma tillbaka mot derivatans definition varenda gång man bör derivera (räkna ut toleransnivåer för) enstaka funktion.

Derivatan betecknas olika inom olika litteratur. T ex \(f '(x)\) samt \( \frac{d(f(x))}{dx}\) . på denna plats använder oss \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator likt påförs enstaka funktion \(f(x)\).

Det finns deriveringsregler såsom kunna härledas utifrån derivatans definition samt sedan används på grund av för att beräkna derivatan på grund av en antal vanligt återkommande funktioner.

I tidigare segment beräknade oss derivatan inom ett punkt.

Kolla derivatan

idag skall oss beräkna derivatan till varenda x inom funktionens all definitionsmängd. Då ersätter man punkten a tillsammans med variabeln x. Derivatan blir då inom sig enstaka funktion inom identisk definitionsmängd.

Men innan oss börjar kolla vid deriveringsreglerna tar oss enstaka repetition från funktionsbegreppet.

Mer ifall funktionsbegreppet inom Matte 1 samt Matte 2.

Funktionsbegreppet existerar centralt på grund av derivatan.

En funktion f existerar enstaka regel/flera regler var enstaka input omvandlas mot output (se bild).

T ex plast in inom ett maskin samt ut kommer muggar. Volymkontroll ökas vid enstaka förstärkare, sålunda ökas volymen. varenda inställt värde vid volymkontrollen medför enstaka viss konsekvens ut.

Mer formellt existerar enstaka funktion enstaka regel såsom avbildar ett definitionsmängd från x entydigt vid enstaka värdemängd f(x).

På identisk sätt existerar d/dx ett regel såsom besitter f '(x) likt output, osv.

Vi bör idag härleda några från dem enklaste samt nyttigaste deriveringsreglerna.

detta viktigaste existerar ej för att behärska härleda dessa vid personlig grabb, utan främst för att behärska följa tillsammans med inom samt förstå härledningen, samt för att sedan behärska nyttja dem deriveringsregler liksom oss kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja tillsammans med ett lätt linjär funktion samt beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser oss för att derivatan existerar densamma på grund av varenda värden vid x - derivatan existerar ständigt 5 på grund av denna funktion.

Om oss studera beräkning ovan är kapabel oss ana oss mot för att detta finns en allmänt samband mellan den enkla raka funktionens k-värde samt derivatan (som ni nog minns bestämmer k-värdet just enstaka linje lutning samt existerar lika till samtliga punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Nästa modell existerar räta linjens ekvation: y = f(x) = kx+m
Använder oss derivatans definition 

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{k(x+h)+m-(kx+m)}{h}= \\ =\frac{kx+kh+m-kx-m}{h}=\frac{kh}{h}=k$$

Precis liksom inom avsnittet innan ser oss för att f '(x) = k, detta önskar yttra derivata inom punkten x  existerar lika tillsammans med k-värdet, riktningskoefficienten.

Andragradsfunktioners derivata

Vi kalkylerar för tillfället derivata på grund av ett lätt andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I detta denna plats exemplet fick oss alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion samt denna andragradsfunktions derivata existerar ej lika enkel för att titta såsom på grund av den enkla förstagradsfunktionen, dock därför på denna plats ser detta generella sambandet ut till fallet tillsammans enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På identisk sätt såsom oss såg för att oss kunde utföra till enkla andragradsfunktioner, förmå oss härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För ett lätt exempelfunktion från tredjeplats graden får oss nästa derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet på grund av enkla tredjegradsfunktioner samt deras derivata ser ut således här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

Innan oss tittar vid hur polynomfunktionerna deriveras allmänt tittar oss vid "nolltegradsfunktionen" detta önskar yttra x⁰ liksom motsvarar funktioner vilket besår från enbart enstaka konstant term.

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion existerar enstaka funktion tillsammans med ett x⁰-term såsom den begrepp vilket äger högst gradtal.

en modell vid ett sådan funktion existerar följande:

$$f(x)=5 $$

För för att titta för att detta på denna plats verkligen existerar ett nolltegradsfunktion förmå man notera angående uttrycket sålunda här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf existerar enstaka horisontell linje (alltså enstaka linje såsom existerar parallell tillsammans x-axeln).

2x^3 + 5x + 10

ett sådan linje borde äga lutningen k=0, vilket även borde existera värdet vid funktionens derivata.

Vi använder derivatans definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev många riktigt lika tillsammans med 0, liksom väntat.

inom själva verket är kapabel man upprepa härledningen ovan på grund av ett godtycklig nolltegradsfunktion \(f(x) = a\) samt komma fram mot för att derivatan blir lika tillsammans 0.

Det generella sambandet mellan ett nolltegradsfunktion samt dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Viktigt för att tänka vid existerar för att oss kan inte inledningsvis sätta in punkten inom funktionen samt sen derivera i enlighet med deriveringsreglerna.

vilket modell, beräkna \(f '(2)\) till funktionen

$$f(x) = x^2 $$

om oss ursprunglig sätter in x = 2 får oss \(f(2) = 4\) samt då skulle \(f '(2) = 0\) i enlighet med deriveringsreglerna. Därför måste oss inledningsvis derivera tillsammans avseende vid variabeln x och oss får istället

$$f'(x) = 2x$$

$$f'(2) = 4$$

Detta beror vid för att derivatan bara kunna tas vid ett funktion \(f(x)\) ifall oss söker \(f'(x)\) inom enstaka godtycklig punkt.

titta funktionsbegreppet tidigare.

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner från högre gradtal tillsammans hjälp från derivatans definition, visar detta sig för att deras derivata följer en allmänt mönster då dem existerar från gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Derivata på grund av polynomfunktioner tillsammans med flera termer

Nu äger oss undersökt derivatan till enkla polynomfunktioner från olika gradtal.

y = f (x)

dock vad sker angående oss äger enstaka polynomfunktion såsom innehåller begrepp från olika gradtal? en modell vid enstaka sådan polynomfunktion existerar följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går för att utföra vid identisk sätt liksom oss gjort tidigare på grund av enklare funktioner, tillsammans hjälp från derivatans definition.

ifall oss äger räknat riktig därför kommer oss fram mot nästa samband mellan denna exempelfunktion samt dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om oss jämför termerna inom uttrycket på grund av derivatan tillsammans funktionen inom detta modell, sålunda ser oss för att dessa motsvarar summan från derivatan från dem detaljerad termerna inom detta ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt kunna man yttra för att sambandet mellan ett polynomfunktion såsom består från flera begrepp samt denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan på grund av all polynomfunktionen får man genom för att summera derivatan på grund av varenda begrepp inom funktionen till sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan inom ett tabell:

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
k	0
\(x\)	1
\(x^2\)	\(2x\)
\(x^3\)	\(3x^2\)
\(x^4\)	\(4x^3\)
\(\dots\)	\(\dots\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^{n-1}\)

 Där k existerar enstaka konstant.

Derivatan till några andra vanligt förekommande funktioner

Vi bör även derivera några andra vanliga funktioner, dock utan härledning tillsammans med hjälp från derivatans definition.

oss nöjer oss tillsammans med för att derivera utifrån reglerna oss nyss kommit fram till.

Vi börjar tillsammans när x är nämnare inom enstaka kvot.
$$f(x)= \frac{1}{x}$$

Vi förmå i enlighet med potensreglerna nedteckna angående den därför här

$$f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$$

Nu är kapabel oss derivera denna funktion i enlighet med reglerna på grund av xⁿ

$$f'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1}= -x^{-2} $$

Vi skriver idag tillbaka den likt ett kvot

$$f'(x) = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2} $$

Nästa funktion existerar en enkelt fall var variabeln ligger inom en rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall tillsammans funktion var exponenten existerar negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Sista exemplet existerar då oss undersöker hur detta ser ut angående oss besitter enstaka konstant multiplicerat tillsammans enstaka funktion.

$$f(x) = k \cdot g(x) $$

När oss deriverar detta får helt enkelt

$$f'(x)= k \cdot g'(x) $$

Vad innebär detta?

Jo angående oss vet för att funktionen \(f(x)=\sqrt{x} \) besitter derivatan \(f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) sålunda gäller i enlighet med regeln ovan för att på grund av funktionen 

$$f(x) = 3\sqrt{x}$$

har derivatan 

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{x}}$$